中学3年数学・多項式テスト

初級

多項式の計算（全10問）

配点：各10点 / 100点満点

問1 単項式と多項式の乗法

次の計算をしなさい。
\( 2x(3x - 4y) \)

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【答】 \( 6x^2 - 8xy \)

【解説】
分配法則 \( a(b + c) = ab + ac \) を利用して括弧内の各項に \( 2x \) を掛けます。
\( 2x \times 3x - 2x \times 4y = 6x^2 - 8xy \)

問2 多項式と単項式の除法

次の計算をしなさい。
\( (6a^2b - 9ab^2) \div 3ab \)

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【答】 \( 2a - 3b \)

【解説】
各項をそれぞれ \( 3ab \) で割ります（分数の形にすると分かりやすいです）。
\( \dfrac{6a^2b - 9ab^2}{3ab} = \dfrac{6a^2b}{3ab} - \dfrac{9ab^2}{3ab} = 2a - 3b \)

問3 多項式の展開 \( (x + a)(x + b) \)

次の式を展開しなさい。
\( (x + 3)(x + 5) \)

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【答】 \( x^2 + 8x + 15 \)

【解説】
乗法公式 \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab \) を適用します。
\( x^2 + (3 + 5)x + (3 \times 5) = x^2 + 8x + 15 \)

問4 平方の公式 \( (x + a)^2 \)

次の式を展開しなさい。
\( (x + 6)^2 \)

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【答】 \( x^2 + 12x + 36 \)

【解説】
平方の公式 \( (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 \) を適用します。
\( x^2 + 2 \times 6 \times x + 6^2 = x^2 + 12x + 36 \)

問5 平方の公式 \( (ax - b)^2 \)

次の式を展開しなさい。
\( (2x - 3)^2 \)

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【答】 \( 4x^2 - 12x + 9 \)

【解説】
公式 \( (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \) において \( A = 2x, B = 3 \) と考えます。
\( (2x)^2 - 2 \times (2x) \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 \)

問6 和と差の積 \( (x + a)(x - a) \)

次の式を展開しなさい。
\( (x + 7)(x - 7) \)

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【答】 \( x^2 - 49 \)

【解説】
「和と差の積は平方の差」の公式 \( (x + a)(x - a) = x^2 - a^2 \) を適用します。
\( x^2 - 7^2 = x^2 - 49 \)

問7 共通因数のくくり出し

次の式を因数分解しなさい。
\( 3ax + 6ay \)

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【答】 \( 3a(x + 2y) \)

【解説】
各項の共通因数を見つけます。
\( 3ax = 3 \times a \times x \)
\( 6ay = 3 \times a \times 2y \)
共通因数 \( 3a \) を括弧の外にくくり出します： \( 3a(x + 2y) \)

問8 公式による因数分解 \( x^2 + (a+b)x + ab \)

次の式を因数分解しなさい。
\( x^2 + 7x + 12 \)

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【答】 \( (x + 3)(x + 4) \)

【解説】
かけて \( 12 \)、たして \( 7 \) になる2つの整数を探します。
\( 3 \times 4 = 12 \)、\( 3 + 4 = 7 \) であるため、
\( x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) \) と因数分解できます。

問9 完全平方式の因数分解

次の式を因数分解しなさい。
\( x^2 - 10x + 25 \)

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【答】 \( (x - 5)^2 \)

【解説】
定数項が \( 25 = 5^2 \)、\( x \) の係数が \( -10 = -2 \times 5 \) となっていることに注目します。
公式 \( x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2 \) より、
\( x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 \)

問10 平方の差の因数分解

次の式を因数分解しなさい。
\( 4x^2 - 9y^2 \)

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【答】 \( (2x + 3y)(2x - 3y) \)

【解説】
それぞれの項を平方式の形にします。
\( 4x^2 = (2x)^2 \)、\( 9y^2 = (3y)^2 \)
公式 \( A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \) を適用して、
\( (2x)^2 - (3y)^2 = (2x + 3y)(2x - 3y) \)

中級

式の計算の利用（全10問）

配点：各10点 / 100点満点

問1 数の計算の工夫（平方の公式の利用）

乗法公式を利用して、次の計算をしなさい。
\( 102^2 \)

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【答】 \( 10404 \)

【解説】
\( 102 \) を \( 100 + 2 \) と分解して平方の公式を適用します。
\( 102^2 = (100 + 2)^2 \)
\( = 100^2 + 2 \times 100 \times 2 + 2^2 \)
\( = 10000 + 400 + 4 = 10404 \)

問2 数の計算の工夫（平方の公式の利用）

乗法公式を利用して、次の計算をしなさい。
\( 98^2 \)

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【答】 \( 9604 \)

【解説】
\( 98 \) を \( 100 - 2 \) と分解して公式 \( (A - B)^2 \) を適用します。
\( 98^2 = (100 - 2)^2 \)
\( = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2 \)
\( = 10000 - 400 + 4 = 9604 \)

問3 数の計算の工夫（和と差の積）

乗法公式を利用して、次の計算をしなさい。
\( 53 \times 47 \)

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【答】 \( 2491 \)

【解説】
基準となるキリの良い数 \( 50 \) からの差に着目します。
\( 53 = 50 + 3 \)、\( 47 = 50 - 3 \) なので、
\( 53 \times 47 = (50 + 3)(50 - 3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491 \)

問4 因数分解を利用した計算

因数分解を利用して、次の計算をしなさい。
\( 75^2 - 25^2 \)

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【答】 \( 5000 \)

【解説】
公式 \( A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \) を利用します。
\( 75^2 - 25^2 = (75 + 25)(75 - 25) \)
\( = 100 \times 50 = 5000 \)

問5 式の値を求める問題（因数分解の利用）

\( x = 54 \)、\( y = 46 \) のとき、次の式の値を求めなさい。
\( x^2 - y^2 \)

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【答】 \( 800 \)

【解説】
直接代入するのではなく、先に因数分解します。
\( x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) \)
ここで \( x = 54, y = 46 \) を代入すると、
\( (54 + 46)(54 - 46) = 100 \times 8 = 800 \)

問6 式の値を求める問題（完全平方式への変形）

\( x = 28 \) のとき、次の式の値を求めなさい。
\( x^2 + 4x + 4 \)

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【答】 \( 900 \)

【解説】
与式を因数分解すると、
\( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \)
ここに \( x = 28 \) を代入すると、
\( (28 + 2)^2 = 30^2 = 900 \)

問7 整数の性質の証明（連続する奇数の積）

「連続する2つの奇数の積に 1 を加えた数は、偶数の2乗になる」ことを文字を使って証明しなさい。

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【解答例】

整数を \( n \) とすると、連続する2つの奇数は \( 2n - 1, 2n + 1 \) と表すことができる。
この2つの奇数の積に 1 を加えると、
\( (2n - 1)(2n + 1) + 1 = (4n^2 - 1) + 1 = 4n^2 \)
\( 4n^2 = (2n)^2 \)
\( 2n \) は偶数であるから、\( (2n)^2 \) は偶数の2乗である。
したがって、連続する2つの奇数の積に 1 を加えた数は、偶数の2乗になる。

※奇数を \( 2n+1, 2n+3 \) と表した場合は \( (2n+2)^2 \) となり、同様に証明できます。

問8 整数の性質の証明（位の数を入れ替えた整数の和）

「2桁の自然数と、その十の位と一の位の数を入れ替えてできる自然数の和は、11の倍数になる」ことを証明しなさい。

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【解答例】

もとの2桁の自然数の十の位の数を \( a \)、一の位の数を \( b \) とすると（ただし \( a, b \) は 1 から 9 までの整数）、もとの自然数は \( 10a + b \)、十の位と一の位を入れ替えた自然数は \( 10b + a \) と表される。
この2つの自然数の和は、
\( (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) \)
\( a + b \) は整数であるから、\( 11(a + b) \) は 11 の倍数である。
したがって、2桁の自然数とその数の十の位と一の位を入れ替えた数の和は 11 の倍数になる。

問9 図形への利用（長方形のまわりの道）

縦が \( p \ \text{m} \)、横が \( q \ \text{m} \) の長方形の花壇の周囲に、幅 \( a \ \text{m} \) の道がついています。この道の面積を \( S \ \text{m}^2 \)、道の真ん中を通る線の長さを \( \ell \ \text{m} \) とするとき、\( S = a\ell \) となることを証明しなさい。

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【解答例】

道の外側を含めた全体の長方形の縦は \( p + 2a \)、横は \( q + 2a \) であるから、道の面積 \( S \) は、
\( S = (p + 2a)(q + 2a) - pq \)
\( = pq + 2ap + 2aq + 4a^2 - pq \)
\( = 2ap + 2aq + 4a^2 \quad \cdots\text{①} \)

次に、道の真ん中を通る線の縦の長さは \( p + a \)、横の長さは \( q + a \) であるから、線の長さ \( \ell \) は、
\( \ell = 2(p + a) + 2(q + a) = 2p + 2q + 4a \)
両辺に \( a \) を掛けると、
\( a\ell = a(2p + 2q + 4a) = 2ap + 2aq + 4a^2 \quad \cdots\text{②} \)

①, ② より、\( S = a\ell \) が成り立つ。

問10 図形への利用（円形のまわりの道）

半径 \( r \ \text{m} \) の円形の池のまわりに、幅 \( a \ \text{m} \) の道があります。この道の面積を \( S \ \text{m}^2 \)、道の真ん中を通る円周の長さを \( \ell \ \text{m} \) とするとき、\( S = a\ell \) となることを証明しなさい。（円周率は \( \pi \) とする）

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【解答例】

池と道を合わせた外側の円の半径は \( r + a \) であるから、道の面積 \( S \) は、
\( S = \pi(r + a)^2 - \pi r^2 \)
\( = \pi(r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2 \)
\( = 2\pi ar + \pi a^2 \quad \cdots\text{①} \)

道の真ん中を通る円の半径は \( r + \dfrac{a}{2} \) であるから、その円周の長さ \( \ell \) は、
\( \ell = 2\pi\left(r + \dfrac{a}{2}\right) = 2\pi r + \pi a \)
両辺に \( a \) を掛けると、
\( a\ell = a(2\pi r + \pi a) = 2\pi ar + \pi a^2 \quad \cdots\text{②} \)

①, ② より、\( S = a\ell \) が成り立つ。