中学3年数学・多項式

\(103=100+3\) として、\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) を使います。

\[\begin{aligned}103^2&=(100+3)^2\\&=100^2+2\times 100\times 3+3^2\\&=10000+600+9=10609\end{aligned}\]

\(98=100-2\)、\(102=100+2\) として、\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) を使います。

\[98\times 102=(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10000-4=9996\]

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) と因数分解してから計算します。

\[67^2-33^2=(67+33)(67-33)=100\times 34=3400\]

そのまま代入するより、先に因数分解すると計算が簡単になります。

\[x^2-6x+9=(x-3)^2=(27-3)^2=24^2=576\]

\(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\) と因数分解してから代入します。

\[(3.5+1.5)(3.5-1.5)=5\times 2=10\]

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) より、\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) と変形できます。

\[a^2+b^2=7^2-2\times 10=49-20=29\]

\(n\) を整数とすると、連続する2つの整数は \(n,\ n+1\) と表される。

\[\begin{aligned}(n+1)^2-n^2&=n^2+2n+1-n^2\\&=2n+1\\&=n+(n+1)\end{aligned}\]

\(n+(n+1)\) はもとの2つの数の和である。
したがって、大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗をひいた差は、もとの2つの数の和に等しい。

\(n\) を整数とすると、連続する3つの整数は \(n-1,\ n,\ n+1\) と表される。

残りの2つの数の積は

\[(n-1)(n+1)=n^2-1\]

\(n^2-1\) は真ん中の数の2乗から1をひいた数である。
したがって、真ん中の数の2乗から1をひいた数は、残りの2つの数の積に等しい。

\(n\) を整数とすると、連続する2つの奇数は \(2n-1,\ 2n+1\) と表される。

\[\begin{aligned}(2n-1)(2n+1)+1&=4n^2-1+1\\&=4n^2\end{aligned}\]

\(n^2\) は整数なので、\(4n^2\) は4の倍数である。
したがって、連続する2つの奇数の積に1を加えた数は、4の倍数になる。

道を含めた全体は1辺 \((a+2p)\) m の正方形だから、道の面積 \(S\) は

\[\begin{aligned}S&=(a+2p)^2-a^2\\&=a^2+4ap+4p^2-a^2\\&=4ap+4p^2\end{aligned}\]

道のまん中を通る線は1辺 \((a+p)\) m の正方形の周だから

\[\ell=4(a+p)\]

よって

\[p\ell=4p(a+p)=4ap+4p^2\]

したがって、\(S=p\ell\) である。