問 1. 次の計算をしなさい。 $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$
解答: $\sqrt{6}$
解説: $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ の公式を使います。$\sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$ となります。
問 2. $\sqrt{18}$ を $a\sqrt{b}$ の形に直しなさい。（根号の中を最も小さい整数にしなさい）
解答: $3\sqrt{2}$
解説: 18を素因数分解すると $18 = 9 \times 2 = 3^2 \times 2$ です。$\sqrt{3^2}$ は 3 として外に出るため、$3\sqrt{2}$ になります。
問 3. 次の計算をしなさい。 $\sqrt{12} + \sqrt{27}$
解答: $5\sqrt{3}$
解説: まずそれぞれの根号の中を簡単にします。$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$、$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。同類項をまとめるように計算して、$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ となります。
問 4. 次の計算をしなさい。 $\sqrt{50} - \sqrt{18}$
解答: $2\sqrt{2}$
解説: 根号の中を簡単にします。$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$、$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$。よって、$5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
問 5. 次の分母を有理化しなさい。 $\frac{6}{\sqrt{3}}$
解答: $2\sqrt{3}$
解説: 分母と分子の両方に $\sqrt{3}$ を掛けます。$\frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ となります。
問 6. 次の計算をしなさい。 $\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})$
解答: $2\sqrt{3} + 2$
解説: 分配法則を使います。$\sqrt{2} \times \sqrt{6} + \sqrt{2} \times \sqrt{2} = \sqrt{12} + 2$。$\sqrt{12}$ を直して、$2\sqrt{3} + 2$ となります。
問 7. 次の式を展開しなさい。 $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$
解答: $1$
解説: 乗法公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を使います。$(\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$ になります。
問 8. 次の式を展開しなさい。 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$
解答: $5 + 2\sqrt{6}$
解説: 乗法公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使います。$(\sqrt{3})^2 + 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$。
問 9. 次の計算をしなさい。 $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$
解答: $2\sqrt{2}$
解説: $\sqrt{\frac{24}{3}}$ とひとつの根号にまとめることができます。計算すると $\sqrt{8}$。これを簡単にすると $2\sqrt{2}$ になります。
問 10. $x = \sqrt{5} + 1, y = \sqrt{5} - 1$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めなさい。
解答: $4\sqrt{5}$
解説: 式を因数分解してから代入すると簡単です。$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ です。$x+y = (\sqrt{5}+1) + (\sqrt{5}-1) = 2\sqrt{5}$。$x-y = (\sqrt{5}+1) - (\sqrt{5}-1) = 2$。よって、$2\sqrt{5} \times 2 = 4\sqrt{5}$ となります。